Pi et la Méthode de Monte-Carlo

La Méthode de Monte-Carlo permet la résolution de certains problèmes numériques déterministes.
On résout les problèmes de façon approchée avec une simulation.
Ici, nous trouvons une approximation du nombre p par la méthode de Monte-Carlo géométrique.
Un carré dont la longueur du côté est prise comme unité est tracé, à l'intérieur on a un quart de disque.

La méthode consiste alors à tirer au hasard des nombres x et y dans l'intervalle [0,1] ;
si x2 + y2 < 1 le point M(x,y) appartient au quart de disque de rayon 1. et est dessiné en vert, sinon il est colorié en rouge.
La probabilité d'obtenir un point vert est égale au rapport des aires du quart de disque de rayon 1 et du carré de côté 1.
Elle est donc de p/4.
Dans l'animation ci-dessus, nous pouvons visualiser les résultats obtenus pour l'approximation de p, selon le nombre de points générés aléatoirement.
On peut interrompre momentanément le tirage aléatoire pour noter la valeur approchée de p obtenue, puis poursuivre le tirage ou bien recommencer une nouvelle expérimentation.



Remarquons toutefois que la méthode ici ne converge que très lentement et n'est pas très précise pour le calcul de p lui-même. Par contre, l'étude des fluctuations des valeurs de p obtenues présente un certain intérêt sur le plan statistique.

Voici toutefois un moyen mnémotechnique pour retrouver rapidement les premières décimales du nombre p .
Le texte suivant très connu est cité par Beutel en 1913 (pour les 30 premières) : on compte le nombre de lettres de chaque mot pour obtenir les décimales, quand il y en a plus de dix, on prend 0.

Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages !
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
8 9 7 9
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
3 2 3 8 4 6 2 6
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
4 3 3 8 3 2 7 9
Tirez circonférence au diamètre etcetera.
5 0 2 8 8
Le nombre p est sans aucun doute le nombre le plus important des mathématiques... à l'exception du nombre 1. On le retrouve dans tout ce qui concerne le cercle, la sphère, les ellipses, dans tout ce qui concerne les mouvements périodiques associés à des fonctions trigonométriques...
On le retrouve aussi dans tout ce qui concerne les ondes, les oscillations, les vibrations : électricité, optique, acoustique, magnétisme, musique, cordes...
Aujourd'hui nous avons des formules efficaces permettant de déterminer un très grand nombre de décimales du nombre p (plusieurs milliards de décimales sont trouvées).
p /4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... , cette formule de la somme alternée des inverses des impairs, s'approche très très lentement du nombre p.
p 2/6 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + ..., cette somme des inverses des carrés des entiers converge plus rapidement que la formule précédente.
Un chercheur canadien SIMON PLOUFFE a trouvé en 1995 une formule qui permet de trouver en base deux directement une décimale de rang donné sans calculer les précédentes ! On ne sait d'ailleurs pas le faire pour la racine carrée de 2.
On sait également que p n'est racine d'aucune équation simple faisant intervenir des nombres rationnels et des puissances. Cela lui vaut le doux nom de "nombre transcendant".